Wyznaczanie macierzy wykładniczej

Do wyznaczania macierzy wykładniczej \( \hskip 0.3pc e^{tA}\hskip 0.3pc \) wykorzystamy następujące twierdzenie:

Twierdzenie 1:

ZAŁOŻENIA:

Niech \( \hskip 0.3pcA\hskip 0.3pc \) będzie dowolną rzeczywistą lub zespoloną macierzą kwadratową wymiaru \( \hskip 0.3pc n\times n.\hskip 0.3pc \)

TEZA:

Wtedy istnieje nieosobliwa macierz \( \hskip 0.3pc P\hskip 0.3pc \), taka że

\( A=PJP^{-1}, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc J\hskip 0.3pc \) jest tak zwaną macierzą Jordana macierzy \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc \). Macierz Jordana ma postać:

\( \begin{bmatrix} J_1 &0&\ldots &0&0\\0&J_2 & &0&0\\ \vdots & &\ddots& &\vdots \\0&0& &J_{k-1} &0\\0&0&\ldots &0&J_k \end{bmatrix}. \)

elementy \( \hskip 0.3pc J_i\hskip 0.3pc \) macierzy \( \hskip 0.3pc J\hskip 0.3pc \) są zwane klatkami Jordana.

Omówimy teraz jak wyznacza się klatki Jordana i macierz nieosobliwą P.

Niech \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc \) będzie rzeczywistą macierzą kwadratową wymiaru \( \hskip 0.3pc n\times n,\hskip 0.3pc \) a \( \hskip 0.3pc\lambda_1, \ldots ,\lambda_k,\hskip 0.5pck\le n\hskip 0.3pc \) będą wartościami własnymi macierzy \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc \).
Niech

\( V_i^{(0)}=\{x:\hskip 0.5pc(A-\lambda_iI)\cdot x=0\}, \)

będzie podprzestrzenią własną odpowiadająca wartości własnej \( \hskip 0.3pc \lambda_i\hskip 0.3pc \).
Rozważymy następujące przypadki.

1. Wymiar przestrzeni \( \hskip 0.3pc V_i^{(0)}\hskip 0.3pc \) jest równy krotności wartości własnej \( \hskip 0.3pc\lambda_i.\hskip 0.3pc \) Niech \( \hskip 0.3pc m\hskip 0.3pc \)- oznacza krotność wartości własnej \( \hskip 0.3pc \lambda_i\hskip 0.3pc \) i niech układ wektorów \( \hskip 0.3pc \{v_{i_1}^{(0)},\ldots ,v_{i_m}^{(0)}\}\hskip 0.3pc \) będzie bazą przestrzeni \( \hskip 0.3pc V_i^{(0)}\hskip 0.3pc \). Każdemu wektorowi \( v_{i_j}^{(0)} \) odpowiada pojedyncza klatka Jordana, którą będziemy oznaczać \( \hskip 0.3pc J_{i_j}=[\lambda_i].\hskip 0.3pc \) W tym przypadku mamy \( \hskip 0.3pc m\hskip 0.3pc \) jednakowych pojedynczych klatek Jordana.

2. Wymiar przestrzeni \( \hskip 0.3pc V_i^{(0)}\hskip 0.3pc \) jest mniejszy od krotności wartości własnej \( \hskip 0.3pc \lambda_i\hskip 0.3pc \). Jeżeli \( \hskip 0.3pc m\hskip 0.3pc \)- jest krotnością wartości własnej \( \hskip 0.3pc\lambda_i\hskip 0.3pc \) a \( \hskip 0.3pc r\hskip 0.3pc \)- wymiarem przestrzeni własnej \( \hskip 0.3pc V_i^{(0)},\hskip 0.3pc \) wtedy mamy \( \hskip 0.3pc m\hskip 0.3pc \) wektorów \( \hskip 0.3pc\{v_{i_1}^{(0)},\ldots ,v_{i_m}^{(0)}\},\hskip 0.3pc \) z których tylko pierwszych \( \hskip 0.3pc r\hskip 0.3pc \) stanowi bazę przestrzeni \( \hskip 0.3pc V_i^{(0)}\hskip 0.3pc \) a pozostałe \( \hskip 0.3pc m-r\hskip 0.3pc \) wektorów są wektorami głównymi odpowiednich rzędów związanymi niekoniecznie ze wszystkimi wektorami własnymi \( \hskip 0.3pc\{v_{i_1}^{(0)},\ldots ,v_{i_r}^{(0)}\}\hskip 0.3pc \). Każdemu wektorowi własnemu \( \hskip 0.3pc v_{i_1}^{(0)},\ldots ,v_{i_r}^{(0)}\hskip 0.3pc \) odpowiada odpowiednio klatka Jordana \( \hskip 0.3pcJ_{i_1},\ldots ,J_{i_r}. \)
Jeżeli wektorowi \( \hskip 0.3pc v_{i_j}^{(0)}\hskip 0.3pc \)- nie odpowiada żaden wektor główny, to klatka Jordana odpowiadająca wektorowi \( \hskip 0.3pc v_{i_j}^{(0)}\hskip 0.3pc \) jest jednoelementowa \( \hskip 0.3pc J_{i_j}=[\lambda_i].\hskip 0.3pc \)
Jeżeli natomiast wektorowi własnemu \( \hskip 0.3pc v_{i_j}^{(0)}\hskip 0.3pc \) odpowiadają wektory główne \( \hskip 0.3pc v_{i_j}^{(1)},\ldots ,v_{i_j}^{(k)}\hskip 0.3pc \) związane z wektorem \( \hskip 0.3pc v_{i_j}^{(0)}\hskip 0.3pc \) zależnościami:

(1)

\( \begin{cases}v_{i_j}^{(0)}=(A-\lambda I)v_{i_j}^{(1)}&\\v_{i_j}^{(1)}=(A-\lambda I)v_{i_j}^{(2)}&\\\vdots &\\v_{i_j}^{(k-1)}=(A-\lambda I)v_{i_j}^{(k)}&\end{cases} \)

to klatka Jordana odpowiadająca wektorowi \( \hskip 0.3pc v_{i_j}^{(0)}\hskip 0.3pc \) ma wymiar \( \hskip 0.3pc (k+1)\times (k+1)\hskip 0.3pc \)

\( J_{i_j}=\begin{bmatrix} \lambda_i &1&\ldots &0&0\\0&\lambda_i & &0&0\\ \vdots & &\ddots& &\vdots \\0&0& &\lambda_i &1\\0&0&\ldots &0&\lambda_i \end{bmatrix}. \)

W macierzy \( \hskip 0.3pc J_{i_j}\hskip 0.3pc \) jej pierwszej kolumnie odpowiada wektor własny \( \hskip 0.3pc v_{i_j}^{(0)}\hskip 0.3pc \), drugiej wektor główny \( \hskip 0.3pc v_{i_j}^{(1)},\hskip 0.3pc \) odpowiednio \( \hskip 0.3pc k+1\hskip 0.2pc \)-kolumnie wektor główny \( \hskip 0.3pc v_{i_j}^{(k)}\hskip 0.3pc \).
Kolumnami macierzy nieosobliwej \( \hskip 0.3pc P\hskip 0.3pc \) są wektory własne i główne.
Konstrukcje macierzy \( \hskip 0.3pc P\hskip 0.3pc \) wyjaśnimy na przykładzie.
Niech macierz \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc \) wymiaru \( \hskip 0.3pc 5\times 5\hskip 0.3pc \) ma dwie wartości własne: \( \hskip 0.3pc\lambda_1\hskip 0.3pc \) o krotności \( \hskip 0.3pc 3,\hskip 0.3pc \) której odpowiadają wektory \( v_1^{(0)},\hskip 0.3pc v_1^{(1)},\hskip 0.3pc v_1^{(2)}\hskip 0.3pc \) określone zależnością ( 1 ) oraz wartość własną \( \hskip 0.3pc\lambda_2\hskip 0.3pc \) o krotności 2 , której odpowiadają wektory \( \hskip 0.3pc v_2^{(0)},\hskip 0.3pc v_2^{(1)}\hskip 0.3pc \) określone zależnością ( 1 ).
Wówczas klatki Jordana odpowiadające wartościom własnym \( \hskip 0.3pc \lambda_1\hskip 0.3pc \) (odpowiednio \( \hskip 0.3pc \lambda_2\hskip 0.3pc \)) mają postać

\( J_1=\begin{bmatrix}\lambda_1&1&0\\0&\lambda_1 &1\\0&0&\lambda_1\end{bmatrix},\hskip 0.5pc\hskip 0.5pcJ_2=\begin{bmatrix} \lambda_2&1\\0&\lambda_2 \end{bmatrix}. \)

Macierz Jordana \( \hskip 0.3pc J\hskip 0.3pc \) ma wtedy postać:

\( J=\begin{bmatrix}J_1&0\\ 0&J_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda_1&1&0&0&0\\0&\lambda_1 &1&0&0\\0&0&\lambda_1&0&0\\ 0&0&0&\lambda_2&1\\0&0&0&0&\lambda_2\end{bmatrix} \)

a kolumnami macierzy \( \hskip 0.3pc P\hskip 0.3pc \) są odpowiednio współrzędne wektorów \( \hskip 0.3pc v_1^{(0)},\hskip 0.3pc v_1^{(1)},\hskip 0.3pc v_1^{(2)},\hskip 0.3pc v_2^{(0)},\hskip 0.3pc v_2^{(1)}.\hskip 0.3pc \)
Macierz Jordana \( \hskip 0.3pc J\hskip 0.3pc \) można zapisać też w postaci

\( J=\begin{bmatrix}J_2&0\\ 0&J_1\end{bmatrix}, \)

ale wtedy kolumnami macierzy \( \hskip 0.3pc P\hskip 0.3pc \) są odpowiednio współrzędne wektorów \( \hskip 0.3pc v_2^{(0)},\hskip 0.3pc v_2^{(1)},\hskip 0.3pc v_1^{(0)},\hskip 0.3pc v_1^{(1)},\hskip 0.3pc v_1^{(2)}\hskip 0.3pc \).

Uwaga 1:

Jeżeli \( \hskip 0.3pc A=P\cdot J\cdot P^{-1}\hskip 0.3pc \) to \( \hskip 0.3pc e^{tA}=P\cdot e^{tJ}\cdot P^{-1}\hskip 0.3pc \).

Istotnie, ponieważ \( \hskip 0.3pc P\cdot P^{-1}=I\hskip 0.3pc \) więc

\( (P\cdot J\cdot P^{-1})^k=P\cdot J\cdot P^{-1}\cdot P\cdot J\cdot P^{-1}\cdots P\cdot J\cdot P^{-1}=P\cdot J^k\cdot P^{-1}. \)

Zatem

\( \begin{aligned}e^{tA}=&I+At+\dfrac{(At)^2}{2!}+\dfrac{(At)^3}{3!}+\cdots +\dfrac{(At)^n}{n!}+\cdots =\\&P\cdot P^{-1}+P\cdot J\cdot P^{-1}t+(P\cdot J\cdot P^{-1})^2\dfrac{t^2}{2!} +\cdots +(P\cdot J\cdot P^{-1})^n\dfrac{t^n}{n!}+\cdots = \\&P\cdot P^{-1}+P\cdot J\cdot P^{-1}t+P\cdot J^2\cdot P^{-1}\frac{t^2}{2!} +\cdots +P\cdot J^n\cdot P^{-1}\frac{t^n}{n!}+\cdots =\\&P\cdot (I+Jt+J^2\frac{t^2}{2!}+\cdots +J^n\frac{t^n}{n!}+\cdots )\cdot P^{-1}=P\cdot e^{tJ}\cdot P^{-1}\end{aligned} \)

co należało wykazać.

Uwaga 2:

Jeżeli

\( J=\begin{bmatrix}J_1&\ldots &0\\ \vdots &\ddots &\vdots\\0&\ldots &J_k\end{bmatrix}\hskip 0.5pc\hskip 0.5pc{\rm to}\hskip 0.5pc\hskip 0.5pc e^{tJ}=\begin{bmatrix}e^{tJ_1}&\ldots &0\\ \vdots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &e^{tJ_k}\end{bmatrix}. \)

Wynika to bezpośrednio z faktu, że \( \hskip 0.3pc m\hskip 0.2pc \)-ta potęga macierzy \( \hskip 0.3pc J\hskip 0.3pc \) jest równa

\( J^m=\begin{bmatrix}J_1^m&\ldots & 0\\ \vdots & \ddots &\vdots \\ 0&\ldots &J_k^m\end{bmatrix}. \)

Niech \( \hskip 0.3pc J_i\hskip 0.3pc \) będzie klatką Jordana wymiaru \( \hskip 0.3pc s\times s\hskip 0.3pc \)

\( J_{i}=\begin{bmatrix}\lambda_i &1&\ldots &0&0\\ 0&\lambda_i & &0&0\\ \vdots & &\ddots& &\vdots \\0&0& &\lambda_i &1\\0&0&\ldots &0&\lambda_i \end{bmatrix}. \)

Macierz \( \hskip 0.3pc J_i\hskip 0.3pc \) możemy zapisać jako sumę macierzy

\( J_i=D_i+M_i \)

gdzie

\( D_i=\begin{bmatrix}\lambda_i &0&\ldots &0&0\\0&\lambda_i & &0&0\\ \vdots & &\ddots& &\vdots \\ 0&0& &\lambda_i &0\\0&0&\ldots &0&\lambda_i \end{bmatrix}\hskip 0.5pc\hskip 0.5pc{\rm i}\hskip 0.5pc\hskip 0.5pcM_i=\begin{bmatrix}0 &1&\ldots &0&0\\ 0&0&\ldots&0&0\\ \vdots & &\ddots & & \vdots \\ 0&0& \ldots &0 &1\\ 0&0&\ldots &0&0\end{bmatrix}. \)

Ponieważ \( \hskip 0.3pc D_i\cdot M_i=M_i\cdot D_i\hskip 0.3pc \) więc na mocy uwagi 4 mamy

\( e^{tJ_i}=e^{t(D_i+M_i)}=e^{tD_i}\cdot e^{tM_i}. \)

Uwaga 3:

\( M_i^n=0\hskip 1.5pc {\rm dla }\hskip 1.5pc n\ge s. \)

Prawdziwość tej zależności pokażemy na przykładzie, gdy \( \hskip 0.3pc s=3\hskip 0.3pc \)

\( M_i=\begin{bmatrix} 0 &1 &0\\0 & 0 & 1 \\0& 0 &0\end{bmatrix},\hskip 0.5pcM_i\hskip 0.3pc ^2=\begin{bmatrix}0 &0 &1\\0 & 0 & 0 \\0& 0 &0\end{bmatrix},\hskip 0.5pc M_i^3=\begin{bmatrix} 0 &0 &0\\ 0 & 0 & 0 \\0& 0 &0 \end{bmatrix} \)

Policzymy teraz \( \hskip 0.3pc e^{tD_i}\hskip 0.3pc \).
Ponieważ

\( D_i^m=\begin{bmatrix}\lambda_i^m&\ldots &0\\ \vdots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &\lambda_i^m\end{bmatrix} \)

więc

\( \begin{aligned} e^{tD_i}=& I+tD_i+\frac{(tD_i)^2}{2!}+\frac{(tD_i)^3}{3!}+\cdots +\frac{(tD_i)^n}{n!}+\cdots =\\&\begin{bmatrix} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}(\lambda_i t)^k & \ldots & 0\\ \vdots &\ddots &\vdots \\0 &\ldots &\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}(\lambda_it)^k\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} e^{\lambda_i t}&\ldots &0\\ \vdots & \ddots &\vdots \\0 &\ldots &e^{\lambda_it}\end{bmatrix}.\end{aligned} \)

Policzymy teraz \( \hskip 0.3pc e^{tM_i}\hskip 0.3pc \).

Z uwagi 3 mamy

\( \begin{aligned} e^{tM_i}=& I+tM_i+\frac{(tM_i)^2}{2!}+\frac{(tM_i)^3}{3!}+\cdots +\frac{(tM_i)^{s-1}}{(s-1)!}=\\& \begin{bmatrix}1&t&\frac{1}{2!}t^2&\ldots &\frac{t^{s-2}}{(s-2)!} &\frac{t^{s-1}}{(s-1)!}\\0&1&t&\ldots &\frac{t^{s-3}}{(s-3)!} &\frac{t^{s-2}}{(s-2)!}\\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots & \vdots & \vdots\\ 0&0&0&\ldots &1&t\\0&0&0&\ldots &0&1 \end{bmatrix}.\end{aligned} \)

Zatem

\( e^{tJ_i}=e^{tD_i}\cdot e^{tM_i}=\begin{bmatrix}e^{\lambda_it}&te^{\lambda_it}&\ldots &\frac{t^{s-2}}{(s-2)!}e^{\lambda_it} &\frac{t^{s-1}}{(s-1)!}e^{\lambda_it}\\ 0&e^{\lambda_it}&\ldots &\frac{t^{s-3}}{(s-3)!}e^{\lambda_it}&\frac{t^{s-2}}{(s-2)!}e^{\lambda_it}\\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots &\vdots \\0&0&\ldots & e^{\lambda_it}&te^{\lambda_it}\\0&0&\ldots &0&e^{\lambda_it} \end{bmatrix}. \)

Wyznaczymy teraz macierze \( \hskip 0.3pc J,\hskip 0.3pc P,\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc e^{tJ}\hskip 0.3pc \) dla niektórych przykładów z następujących modułów: "Rozwiązywanie układów równań liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach, gdy wartości własne są różne, ale nie wszystkie rzeczywiste", "Rozwiązywanie układów równań liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach, gdy macierz układu jest diagonalizowalna", "Przykłady rozwiązywania układów równań liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach, gdy macierz układu nie jest diagonalizowalna".

Przykład 1:

Niech \( \hskip 0.3pc A=\begin{bmatrix}1&-1&2\\-1&1&0\\-1&0&1\end{bmatrix}\hskip 0.3pc \) będzie macierzą z przykładu 1 .

Wartościami własnymi macierzy \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc \) są \( \hskip 0.3pc \lambda_1=1,\hskip 0.3pc \lambda_2=1+i,\hskip 0.3pc \lambda_3=1-i\hskip 0.3pc \), a odpowiadające im wektory własne generujące podprzestrzenie własne \( \hskip 0.3pc V_1^{(0)},\hskip 0.3pc V_2^{(0)},\hskip 0.3pc V_3^{(0)}\hskip 0.3pc \) są odpowiednio równe:

\( v_1^{(0)}=\begin{bmatrix}0\\2\\1\end{bmatrix},\hskip 1pc v_2^{(0)}=\begin{bmatrix}-i\\1\\1\end{bmatrix},\hskip 1pc v_3^{(0)}=\begin{bmatrix}i\\1\\1\end{bmatrix}. \)

Klatki Jordana odpowiadające wektorom \( \hskip 0.3pc v_1^{(0)},\hskip 0.3pc v_2^{(0)},\hskip 0.3pc v_3^{(0)}\hskip 0.3pc \) są odpowiednio równe:

\( \hskip 0.3pc J_1=\begin{bmatrix} 1\end{bmatrix}, \hskip 0.5pc J_2=\begin{bmatrix} 1+i\end{bmatrix},\hskip 0.5pc J_3=\begin{bmatrix} 1-i\end{bmatrix}\hskip 0.3pc \).
Zatem

\( J=\begin{bmatrix}J_1&0&0\\0&J_2&0\\0&0&J_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1+i&0\\0&0&1-i\end{bmatrix},\hskip 1.2pc P=\begin{bmatrix}0&-i&i\\2&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}. \)

Uwzględniając fakt, że \( \hskip 0.3pc e^{\alpha t+\beta t i}=e^{\alpha t}e^{\beta t i}=e^{\alpha t}(\cos (\beta t)+i\sin(\beta t))\hskip 0.3pc \) otrzymujemy

\( \begin{aligned}e^{tJ}=&\begin{bmatrix}e^{tJ_1}&0&0\\0&e^{tJ_2}&0\\0&0&e^{tJ_3}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}e^{t}&0&0\\0&e^{t(1+i)}&0 \\0&0&e^{t(1-i)}\end{bmatrix}=\\& \begin{bmatrix}e^t&0&0\\ 0&e^t(\cos t+i\sin t)&0\\0&0&e^t(\cos t-i\sin t)\end{bmatrix}.\end{aligned} \)

Przykład 2:

Niech \( \hskip 0.3pc A=\begin{bmatrix}1&-2&2\\-2&1&2\\2&2&1\end{bmatrix}\hskip 0.3pc \) będzie macierzą z przykładu 1. Wartościami własnymi macierzy \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc \) są

\( \hskip 0.3pc \lambda_1=-3\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \lambda_2=3\hskip 0.3pc \)- o krotności 2. Podprzestrzeń własna \( \hskip 0.3pc V_1^{(0)}\hskip 0.3pc \) jest generowana przez wektor \( \hskip 0.3pc v_1^{(0)}=\begin{bmatrix}-1\\-1\\1\end{bmatrix}\hskip 0.3pc \) a podprzestrzeń własna \( \hskip 0.3pc V_2^{(0)}\hskip 0.3pc \) ma wymiar 2 i generowana jest przez wektory \( \hskip 0.3pc v_2^{(0)}=\begin{bmatrix}-1\\1\\0\end{bmatrix}\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc v_3^{(0)}=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}.\hskip 0.3pc \)
Wektorom własnym \( \hskip 0.3pc v_1^{(0)},\hskip 0.3pc v_2^{(0)}\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc v_3^{(0)}\hskip 0.3pc \) odpowiadają odpowiednio następujące klatki Jordana:
\( \hskip 0.3pc J_1=\begin{bmatrix} -3\end{bmatrix}, \hskip 0.5pc J_2=\begin{bmatrix} 3\end{bmatrix},\hskip 0.5pc J_3=\begin{bmatrix} 3\end{bmatrix}\hskip 0.3pc \).
Zatem

\( J=\begin{bmatrix}J_1&0&0\\0&J_2&0\\0&0&J_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3&0&0\\0&3&0\\0&0&3\end{bmatrix},\hskip 1pc P=\begin{bmatrix}-1&-1&1\\-1&1&0\\1&0&1\end{bmatrix}, \)

\( e^{tJ}=\begin{bmatrix}e^{tJ_1}&0&0\\0&e^{tJ_2}&0\\0&0&e^{tJ_3}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}e^{-3t}&0&0\\0&e^{3t}&0\\0&0&e^{3t}\end{bmatrix}. \)

Przykład 3:

Niech \( \hskip 0.3pc A=\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\1&1&0&0&0\\1&1&1&0&0\\0&0&0&3&1\\0&0&0&-4&-1\end{bmatrix} \) będzie macierzą z przykładu 2 . Pięciokrotną wartością własną macierzy \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc \) jest \( \hskip 0.3pc \lambda=1.\hskip 0.3pc \) Podprzestrzeń własna \( \hskip 0.3pc V^{(0)}\hskip 0.3pc \) jest dwuwymiarowa i generowana jest przez wektory \( \hskip 0.3pc v_1^{(0)}=\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\\0\end{bmatrix}\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc v_2^{(0)}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\\-2\end{bmatrix}.\hskip 0.3pc \) Wektorowi włąsnemu \( \hskip 0.3pc v_1^{(0)}\hskip 0.3pc \) odpowiadają następujące wektory główne rzędu pierwszego i drugiego \( \hskip 0.3pc v_1^{(1)}=\begin{bmatrix}0\\1\\1\\0\\0\end{bmatrix},\hskip 0.6pc v_1^{(2)}=\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\\0\end{bmatrix}\hskip 0.3pc \) a wektorowi własnemu \( \hskip 0.3pc v_2^{(0)}\hskip 0.3pc \) odpowiada następujący wektor główny rzedu pierwszego \( \hskip 0.3pc v_2^{(1)}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\\1\end{bmatrix}.\hskip 0.3pc \)

Wektorom własnym \( \hskip 0.3pc v_1^{(0)}\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc v_2^{(0)}\hskip 0.3pc \) odpowiadają odpowiednio następujące klatki Jordana: \( \hskip 0.3pc J_1=\begin{bmatrix} 1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix}, \hskip 0.6pc J_2=\begin{bmatrix} 1&1\\0&1\end{bmatrix}.\hskip 0.3pc \) Zatem

\( J=\begin{bmatrix}J_1&0\\0&J_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1&0&0&0\\0&1&1&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&1\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}, \hskip 1.3pc P=\begin{bmatrix}0&0&1&0&0\\0&1&0&0&0\\1&1&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&-2&1\end{bmatrix}, \)

\( e^{tJ}=\begin{bmatrix}e^{tJ_1}&0\\0&e^{tJ_2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}e^t&te^t&\frac{1}{2}t^2e^t&0&0\\0&e^t&te^t&0&0\\0&0&e^t&0&0\\ 0&0&0&e^t&te^t\\0&0&0&0&e^t\end{bmatrix}. \)

Przykład 4:

Niech \( \hskip 0.3pc A=\begin{bmatrix}1&4&0&0&0\\0&3&0&0&0\\1&-4&1&0&0\\3&-1&1&2&1\\1&2&1&1&2\end{bmatrix} \hskip 0.3pc \) będzie macierzą z zadania 1. Wartościami własnymi macierzy \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc \) są \( \hskip 0.3pc \lambda_1=1\hskip 0.3pc \)- o krotności 3 i \( \hskip 0.3pc \lambda_2=3\hskip 0.3pc \)- o krotności 2. Podprzestrzeń własna odpowiadająca wartości własnej \( \hskip 0.3pc\lambda_1\hskip 0.3pc \) jest dwuwymiarowa i generowana jest przez wektory \( \hskip 0.3pc v_0^{(0)}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\\-1\end{bmatrix}\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc v_1^{(0)}=\begin{bmatrix}0\\0\\-\frac{2}{5}\\-\frac{1}{5}\\ \frac{3}{5}\end{bmatrix} \).

Podprzestrzeń własna odpowiadająca wartości własnej \( \hskip 0.3pc \lambda_2\hskip 0.3pc \) jest jednowymiarowa i generowana jest przez wektor \( \hskip 0.3pc v_2^{(0)}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\7\\7\end{bmatrix}.\hskip 0.3pc \) Wektorowi włąsnemu \( \hskip 0.3pc v_2^{(0)}\hskip 0.3pc \) odpowiada następujący wektor główny rzędu pierwszego \( \hskip 0.3pc v_2^{(1)}=\begin{bmatrix}4\\2\\-2\\1\\0\end{bmatrix} \).
Wektorom własnym \( \hskip 0.3pc v_0^{(0)},\hskip 0.3pc v_1^{(0)}\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc v_2^{(0)}\hskip 0.3pc \) odpowiadają odpowiednio następujące klatki Jordana: \( \hskip 0.3pc J_0=\begin{bmatrix}1\end{bmatrix},\hskip 0.5pc J_1=\begin{bmatrix} 1&1\\0&1\end{bmatrix}, \hskip 0.5pc J_2=\begin{bmatrix} 3&1\\0&3\end{bmatrix}.\hskip 0.3pc \)
Zatem

\( J=\begin{bmatrix}J_0&0&0\\0&J_1&0\\0&0&J_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&1&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&3&1\\ 0&0&0&0&3\end{bmatrix},\hskip 1.2pc P=\begin{bmatrix}0&0&-\frac{2}{5}&0&4\\0&0&0&0&2\\0&-\frac{2}{5}&1&0&-2\\1&-\frac{1}{5}&0&1&1\\-1&\frac{3}{5}&0&1&0\end{bmatrix}, \)

\( e^{tJ}=\begin{bmatrix}e^{tJ_0}&0&0\\0&e^{tJ_1}&0\\0&0&e^{tJ_2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}e^t&0&0&0&0\\0&e^t&te^t&0&0\\0&0&e^t&0&0\\ 0&0&0&e^{3t}&te^{3t}\\0&0&0&0&e^{3t}\end{bmatrix}. \)

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka